সত্যক সারণি ও ডি মরগ্যান এর উপপাদ্য
সত্যক সারণি
বুলিয়ান চলকের মানের সম্ভাব্য সব বিন্যাসের জন্য বুলিয়ান ফাংশনের যে মান হয় তা প্রকাশ করার টেবিলকে
ট্রুথ টেবিল (ঞৎঁঃয ঞধনষব) বা সত্যক সারণি বলে। অর্থাৎ যে সারণিতে বুলিয়ান বীজগণিতের সূত্রে ব্যবহৃত চলকের
সম্ভাব্য মান, মানের জন্য সূত্রের বামদিক এবং ডানদিকের অংশ সমান প্রমাণ করা যায়, সে সারণিকে সত্যক সারণি বা ট্রুথ টেবিল বলা হয়। যদি সত্যক সারণিতে ঘ সংখ্যক চলক থাকে তবে ইনপুট এর অবস্থা হবে ২
হ
সংখ্যক। যেমন কোন
লজিক বর্তনীতে দ’ুটি ইনপুট চলক অ ও ই হলে ইনপুটের অবস্থা হবে ২২
= ৪টি। নি¤েœ অ + অ ই = অ+ ই সূত্রটিকে
নিচের সত্যক সারণিতে প্রকাশ করে দেখানো হলোঅ ই অ অ ই অ + অ ই অ+ ই
০ ০ ১ ০ ০ ০
০ ১ ১ ১ ১ ১
১ ০ ০ ০ ১ ১
১ ১ ০ ০ ১ ১
উপরিউক্ত সারণি পরীক্ষা করলে দেখা যায় , অ + অ ই = অ+ ই
৬.২.২ ডি মরগ্যানের উপপাদ্য
ব্রিটিশ গণিতবিদ ডি-মরগ্যান (উব-গড়ৎমধহ) দুই চলকের জন্য নিম্নলিখিত দুটি বিশেষ প্রয়োজনীয় উপপাদ্য আবিষ্কার করেন।
প্রথম উপপাদ্য ঃ অ ই অ . ই
দ্বিতীয় উপপাদ্য ঃ অ . ই অ ই
সত্যক সারণির সহায়তায় অতি সহজে উক্ত উপপাদ্য দুটি প্রমাণ করা যায়। বড় বড় লজিক রাশিমালা সরলীকরণের জন্য
উপপাদ্য দুটি বিশেষ সহায়ক।
৬.২.৩ ডি মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণ
দুই লজিক্যাল চলকের জন্য ডি মরগ্যানের উপপাদ্য
ট্রুথ টেবিলের সহায়তায় যে কোন বুলিয়ান উপপাদ্য সহজে প্রমাণ করা সম্ভব। এই পদ্ধতিতে প্রমাণের জন্য সূত্রের বাম দিক
ও ডান দিকের চলকসমূহের সম্ভাব্য মান ট্রুথ টেবিলে লেখা হয়। চলকসমূহের সকল মানের জন্য সূত্রের বাম দিক ও ডান
দিকের মান একরূপ হলে সূত্রটি প্রমাণিত হয়। নিম্নে দু’টি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের সূত্র প্রমাণ করা হলো-
শিক্ষার্থীর কাজ অ + অ ই এর সত্যক সারণি তৈরি করুন।
সারসংক্ষেপ
ডিজিটাল লজিক সার্কিটের ইনপুটমান বা মানসমূহের উপর ভিত্তি করে আউটপুট পরিবর্তিত হয়। যে ধরনের সারণির
সাহায্যে ইনপুট ও আউটপুটের মানের বিন্যাসকে প্রকাশ করা হয় তাকে সত্যক সারণি বলে। লজিক কার্যক্রমকে সহজে
বোঝানোর জন্যই সত্যক সারণি ব্যবহৃত হয়।
পাঠোত্তর মূল্যায়ন-৬.২
সঠিক উত্তরের পাশে টিক () চিহ্ন দিন
১। হ-সংখ্যক চলকের জন্য সত্যক সারণিতে ইনপুটের বিন্যাস কি হবে?
ক) ২
হ
খ) হ
গ) ২
হ২ ঘ) সবগুলো
২। কতটি চলকের জন্য ডি মরগ্যানের উপপাদ্য ব্যবহার করা যায় ?
ক) ২ খ) ৩
গ) ৪ ঘ) সবগুলো
বুলিয়ান চলকের মানের সম্ভাব্য সব বিন্যাসের জন্য বুলিয়ান ফাংশনের যে মান হয় তা প্রকাশ করার টেবিলকে
ট্রুথ টেবিল (ঞৎঁঃয ঞধনষব) বা সত্যক সারণি বলে। অর্থাৎ যে সারণিতে বুলিয়ান বীজগণিতের সূত্রে ব্যবহৃত চলকের
সম্ভাব্য মান, মানের জন্য সূত্রের বামদিক এবং ডানদিকের অংশ সমান প্রমাণ করা যায়, সে সারণিকে সত্যক সারণি বা ট্রুথ টেবিল বলা হয়। যদি সত্যক সারণিতে ঘ সংখ্যক চলক থাকে তবে ইনপুট এর অবস্থা হবে ২
হ
সংখ্যক। যেমন কোন
লজিক বর্তনীতে দ’ুটি ইনপুট চলক অ ও ই হলে ইনপুটের অবস্থা হবে ২২
= ৪টি। নি¤েœ অ + অ ই = অ+ ই সূত্রটিকে
নিচের সত্যক সারণিতে প্রকাশ করে দেখানো হলোঅ ই অ অ ই অ + অ ই অ+ ই
০ ০ ১ ০ ০ ০
০ ১ ১ ১ ১ ১
১ ০ ০ ০ ১ ১
১ ১ ০ ০ ১ ১
উপরিউক্ত সারণি পরীক্ষা করলে দেখা যায় , অ + অ ই = অ+ ই
৬.২.২ ডি মরগ্যানের উপপাদ্য
ব্রিটিশ গণিতবিদ ডি-মরগ্যান (উব-গড়ৎমধহ) দুই চলকের জন্য নিম্নলিখিত দুটি বিশেষ প্রয়োজনীয় উপপাদ্য আবিষ্কার করেন।
প্রথম উপপাদ্য ঃ অ ই অ . ই
দ্বিতীয় উপপাদ্য ঃ অ . ই অ ই
সত্যক সারণির সহায়তায় অতি সহজে উক্ত উপপাদ্য দুটি প্রমাণ করা যায়। বড় বড় লজিক রাশিমালা সরলীকরণের জন্য
উপপাদ্য দুটি বিশেষ সহায়ক।
৬.২.৩ ডি মরগ্যানের উপপাদ্যের প্রমাণ
দুই লজিক্যাল চলকের জন্য ডি মরগ্যানের উপপাদ্য
ট্রুথ টেবিলের সহায়তায় যে কোন বুলিয়ান উপপাদ্য সহজে প্রমাণ করা সম্ভব। এই পদ্ধতিতে প্রমাণের জন্য সূত্রের বাম দিক
ও ডান দিকের চলকসমূহের সম্ভাব্য মান ট্রুথ টেবিলে লেখা হয়। চলকসমূহের সকল মানের জন্য সূত্রের বাম দিক ও ডান
দিকের মান একরূপ হলে সূত্রটি প্রমাণিত হয়। নিম্নে দু’টি চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের সূত্র প্রমাণ করা হলো-
শিক্ষার্থীর কাজ অ + অ ই এর সত্যক সারণি তৈরি করুন।
সারসংক্ষেপ
ডিজিটাল লজিক সার্কিটের ইনপুটমান বা মানসমূহের উপর ভিত্তি করে আউটপুট পরিবর্তিত হয়। যে ধরনের সারণির
সাহায্যে ইনপুট ও আউটপুটের মানের বিন্যাসকে প্রকাশ করা হয় তাকে সত্যক সারণি বলে। লজিক কার্যক্রমকে সহজে
বোঝানোর জন্যই সত্যক সারণি ব্যবহৃত হয়।
পাঠোত্তর মূল্যায়ন-৬.২
সঠিক উত্তরের পাশে টিক () চিহ্ন দিন
১। হ-সংখ্যক চলকের জন্য সত্যক সারণিতে ইনপুটের বিন্যাস কি হবে?
ক) ২
হ
খ) হ
গ) ২
হ২ ঘ) সবগুলো
২। কতটি চলকের জন্য ডি মরগ্যানের উপপাদ্য ব্যবহার করা যায় ?
ক) ২ খ) ৩
গ) ৪ ঘ) সবগুলো